Быстро это вопрос субъективный. Если есть основания, то за 12-15 дней реально получить документ.
Разрешение на трудоустройство не рекомендую, даже для меня это очень геморно и дорого по времени. Месяц минимум похороните.
Делайте через воссоединение с семьей, это дороже, но это гарантия в том, что больше платить не надо будет. Не будет штрафов и налогов. Кроме того, если клиент захочет, то через два года может оформить либо постоянный вид на жительство, либо гражданство Украины.
Прописки, как таковой не существует уже года три как. Регистрация места проживания. Смотря по какому району, и на какое время, и если адрес массовой регистрации, то дешевле. В общем, святошинский реально найти за 3000гр/год, подол, оболонь, печерск 8000-10000гр/год.
Временная регистрация это виза в Украину, или штамп о пересечении границы. Ставиться в ДСУ, консульском учреждении, или на таможне.